Folgendes wird berechnet:

Lade … bitte warten!
Dies wird ein paar Sekunden dauern.

Nicht was du meinst? Setze Klammern! Setze Ableitungsvariable und -ordnung in "Optionen".

Ableitungsrechner empfehlen

Gefällt dir diese Seite? Dann kannst du sie unterstützen, indem du ihr ein +1 und ein Gefällt mir gibst. Vielen Dank!

Buchempfehlung

Analysis kompakt für Dummies

Die perfekte Wahl für alle, die ein kompaktes Nachhilfebuch suchen. Der Autor versteht es, auf lockere Art die wichtigsten Konzepte der Analysis zu vermitteln, darunter natürlich auch Ableitungen und Integrale! → zum Buch

Ergebnis

Gib die abzuleitende Funktion oben ein. Ableitungsvariable und mehr kannst du in "Optionen" ändern. Klicke "Los!", um die Berechnung der Ableitung zu starten. Das Ergebnis wird weiter unten angezeigt.

Wie der Ableitungsrechner funktioniert

Für den technisch interessierten Benutzer folgt eine kurze Erklärung, wie der Ableitungsrechner funktioniert.

Die eingegebene mathematische Formel wird zunächst durch einen Parser analysiert. Der Parser verwandelt die mathematische Formel in eine für den Computer besser verarbeitbare Struktur, nämlich einen Baum (siehe Bild unten). Der Ableitungsrechner muss hierbei die Rangfolge verschiedener Operatoren berücksichtigen (z. B. die "Punkt vor Strich"-Regel). Eine Besonderheit bei mathematischen Ausdrücken gilt es ebenfalls zu beachten: Das Multiplikationszeichen wird oft weggelassen, z. B. schreiben wir "5x" statt "5*x". Der Ableitungsrechner muss diese Fälle erkennen und das Multiplikationszeichen ergänzen.

Der Parser ist in JavaScript programmiert (basierend auf dem Shunting-yard-Algorithmus) und kann somit direkt im Browser des Benutzers ausgeführt werden. Das ermöglicht eine sofortige Rückmeldung noch während der Eingabe der mathematischen Formel. Dazu wird aus dem vom Parser generierten Baum eine LaTeX-Darstellung der Formel generiert. Für die Darstellung im Browser sorgt MathJax.

Wird der "Los!"-Button angeklickt, so sendet der Ableitungsrechner die mathematische Formel in Originalform mitsamt der Einstellungen (Ableitungsvariable und Anzahl der Ableitungen) an den Server. Dort wird die Formel erneut analysiert, wobei derselbe JavaScript-Code wie im Browser verwendet wird (ermöglicht durch Node.js). Diesmal wird die Formel jedoch in eine andere Form umgewandelt, so dass sie vom Computeralgebrasystem Maxima verstanden wird.

Funktionsweise des Ableitungsrechners

Maxima übernimmt die Berechnung der Ableitungen. Wie jedes Computeralgebrasystem wendet es dazu eine Reihe von Regeln an, um die Formel zu vereinfachen und nach den allgemein bekannten Ableitungsregeln abzuleiten – so wie man es im Mathematikunterricht lernt. Die Ausgabe von Maxima wird anschließend wieder in LaTeX-Form überführt und dem Benutzer präsentiert.

Das Anzeigen des Rechenwegs ist etwas komplizierter. Hierbei kann der Rechner sich nicht vollständig auf Maxima verlassen, sondern muss die Ableitungen selbst Schritt für Schritt durchführen. Hierzu wurden sämtliche Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …) in JavaScript-Code umgesetzt. Für die trigonometrischen Funktionen, die Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktion sind die entsprechenden Ableitungen in einer Tabelle gespeichert. In jedem Rechenschritt wird eine Ableitung durchgeführt oder umgeschrieben, z. B. werden konstante Faktoren vor die Ableitung geschrieben und Summen in Ableitungen auseinandergezogen (Summenregel). Letzteres sowie generelle Vereinfachungen der Formeln werden von Maxima übernommen. Bei jeder durchgeführten Ableitung werden die LaTeX-Formeln der dabei entstehenden Ausdrücke im HTML-Code speziell ausgezeichnet, so dass später die farbliche Hervorhebung möglich ist.

Die "Lösung überprüfen"-Funktion hat die schwierige Aufgabe, für zwei mathematische Ausdrücke zu bestimmen, ob diese äquivalent sind. Dazu wird ihre Differenz gebildet und mit Hilfe von Maxima möglichst stark vereinfacht. Hierbei werden z. B. trigonometrische/hyperbolische Funktionen in ihre Exponentialform überführt. Wenn so gezeigt werden kann, dass die Differenz Null ist, dann ist das Problem gelöst. Anderenfalls wird ein probabilistischer Algorithmus angewendet, der die Funktionen an zufällig ausgewählten Stellen auswertet und vergleicht.

Die interaktiven Funktionsgraphen werden im Browser berechnet und in einem Canvas-Element (HTML5) dargestellt. Der Rechner erzeugt hierzu aus der eingegebenen Funktion und den berechneten Ableitungen jeweils eine JavaScript-Funktion, die schließlich in kleinen Schritten ausgewertet wird, um den Graph zu zeichnen. Beim Zeichnen des Funktionsgraphen werden auch Definitionslücken wie z. B. Polstellen aufgespürt und speziell behandelt. Die Gestensteuerung ist mit Hammer.js umgesetzt.

Hast du noch Fragen oder Verbesserungsvorschläge zum Ableitungsrechner? Hat er dir beim Lernen oder bei der Prüfungsvorbereitung geholfen? Gerne kannst du mir eine E-Mail schreiben. Ich freue mich über jedes Feedback!

Partnerseiten

Klicktipps: Große Sammlung nützlicher Links, auch zum Mathematik-Lernen

Dietmar Henkes Website: Einführung in das CAS "Maple" (Mathematik-Software) und Erklärung mathematischer Begriffe

eMath: Abituraufgaben (u. a. Analysis) mit ausführlichen Lösungen und Mathematik-Referate